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第二章 代数的基本概念

#####2.10二次函数
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,cy=ax^2+bx+c(a,b,c为常数且a0)a\ne0)的形式,则称y是x的二次函数。
二次函数y=x2y=x^2的图像

y=x2y=x^2的图像特点
1.抛物线2.开口向上3.关于y轴对称4.抛物线的顶点:抛物线与对称轴的交点。
例:
y=x22x3=(x+1)(x3)y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
若y=0,则x=-1或x=3
y=x22x3=(x1)24y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4
当x=1时,函数取最小值-4;
直线x=1是抛物线的对称轴;
x=-1或x=3是抛物线与x轴交点的横坐标。
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c的图像特点
若a>0,图像开口向上
若a<0,图像开口向下
y=ax2+bx+c=a(x+b2a)+4acb24ay=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})+\frac{4ac-b^2}{4a}
b2a-\frac{b}{2a}时,函数有最值
图像的对称轴为x=b2ax=-\frac{b}{2a}
C为与y轴交点的纵坐标

若C>0,抛物线与y轴的交点在原点上方
若C<0,抛物线与y轴的交点在原点下方
b2a-\frac{b}{2a}时,函数取最值4acb24a=Δ4a\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}
即,抛物线的顶点坐标(b2a-\frac{b}{2a}Δ4a-\frac{\Delta}{4a}
图像与x轴的交点有:2个,1个,0个
对应一元二次方程的y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c的根:两个不相等的实数根,两个相等的实数根,无实数根
图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c的根

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